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Exponentialfunktion

Geschrieben von TinWing.

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Theorie

Eine Funktion mit der Gleichung \( y = a^x \) mit \( a > 0 \) und \( a \neq 1 \) heißt Exponentialfunktion.

Die Exponentialfunktionen haben folgende Eigenschaften:

  • Der Graph steig für a > 1;
  • Der Graph fällt für 0 < a < 1.
  • Der Graph liegt oberhalb der x-Achse.
  • Der Graph schmiegt sich
    • für a > 1 an den negativen Teil der x-Achse.
    • für 0 < a < 1 an den positiven Teil der x-Achse.
  • Die Graphen aller Exponentialfunktionen haben den Punkt E(0|1) und nur diesen gemeinsam.
  • Die Graphen der Exponentialfunktionen mit den Gleichungen \( y = a^x \) und \( y = \left( \frac{1}{a} \right)^x \) liegen bezüglich der y-Achse symmetrisch zueinander.

 

Alltagsbeispiele

Exponentialfunktionen benötigt man z.B. für die Berechnung

  • der Halbwertszeit eines radioaktiven Materials
  • des Wachstums einer Population (z.B. Mikroorganismen)
  • der Verzinsung
  • den Wertabnahme (z.B. eines Autos)
  • usw.

Die Exponientialfunktion wird dabei um einen Faktor k ergänzt, um einen Zustand nach x Jahren berechnen zu können. Die dazugehörige Gleichung heißt also \( y = k \cdot a^x \)

Es gilt:

  • x entspricht der Laufzeit ("nach wie vielen Jahren/Monaten/...")
  • k ist der Wert zum Zeitpunkt 0, also der Startwert ("Ich zahle 100 € auf einem Konto ein")
  • a gibt die Steigungsrate an. Wird eine Steigung in Prozent angegeben, muss diese in eine Kommazahl umgeschrieben werden. Dafür gilt:
    • 100 % entspricht einem Wert von 1,00.
    • Soll der Wert (z.B. jährlich) um 20% steigen, so entspricht das den 100% + der angegebenen Steigung von 20%, also insgesamt 120%. Umgerechnet ist dies ein Wert von 1,20.
    • Soll der Wert (z.B. jährlich) um 13% fallen, so entspricht das den 100% - der angegebenen Steigung von 13%, also ingesamt 87%. Umgerechnet ist dies ein Wert von 0,87.

 

Beispiel

Im Jahr 2015 liegen im Atommüllendlager 100 kg Caesium. Pro Jahr zerfallen ca. 2 % des radioaktiven Materials. Wie viel kg Caesium ist im Jahr 2077 noch vorhanden?

  • Startwert: k = 100 kg
  • Steigungsrate: \( 100 \% - 2 \% = 98\% \;  \widehat{=} \; 0,98 = a \)

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

\( y = 100 \cdot 0,98^x \)

Weiter gilt:

  • Laufzeit: \( x = 2077 - 2015 = 62 \)

 

\( y = 100 \cdot 0,98^{62} \approx 28,58 \; \text{kg} \)

Antwort: Im Jahr 2077 sind noch ungefähr 28,58 kg Caesium übrig.

 

 

Videos

Weitere

 

 

Übungen (Online)

  • Ermittle die fehlenden Werte: www.realmath.de ← (Hinweis 10II/III: x-Wert über Solver des GTR berechnen)
  • Allgemeines: www.abfrager.de ← (Hinweis 10II/III: x-Wert über Solver des GTR berechnen)

 

 

Übungs-/Arbeitsblätter

  • Infoblatt 10II.2.2 - Exponentialfunktion (PDF)