Potenzen

Geschrieben von TinWing.

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Theorie

Wenn man gleiche Faktoren multipliziert, so lässt sich diese Rechnung kürzer schreiben:

\( 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4 \)

Der neue Ausdruck \( 3^4 \) heißt Potenz. Die große Zahl heißt Basis und entspricht dem Faktor, der multipliziert wird. Die kleine Hochzahl wird Exponent genannt und zeigt an, wie oft der Faktor mit sich selbst multipliziert wird.

\( {3^4} = \underbrace {3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}_{4 - mal} \)

Der Potenzwert entspricht dem Wert des Ergebnisses.

 

Spezialfälle

Es gib einige Spezialfälle, die einem das Rechnen mit Potenzen erleichtern ( \( a \in \mathbb{R}; b \in \mathbb{N} \) ).

 

  • Ist der Exponent gleich 1, so kann man den Exponent auch weglassen.

    \( a^1 = a \)

  • Ist der Exponent gleich 0, so ist der Potenzwert gleich 1.

    \( a^0 = 1 \)            für \( a \neq 0 \)

  • Ist die Basis gleich 0, so ist der Potenzwert gleich 0.

    \( 0^n = 0 \)           für \( n \neq 0 \)

  • Ist der Exponent negativ, so kann der Ausdruck in einen Bruch mit positivem Exponenten umgeschrieben werden. Der Zähler ist 1, der Nenner bildet die Potenz mit positvem Exponenten.

    \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)

 

Der Ausdruck \( 0^0 \) ist in der Realschulmathematik nicht erklärt.

 

Potenzgesetze

Potenzen nehmen schnell sehr große bzw. sehr kleine Werte an, z.B. \( 3^5 = 243 \). Um Rechnungen mit diesen großen/kleinen Zahlen zu vermeiden, ist es sinnvoll, Potenzen mit Hilfe der Potenzgesetze erst zusammenzufassen bzw. zu vereinfachen und dann den Potenzwert zu berechnen.

  • Multiplikation bei gleicher Basis:

    \(a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)

    Potenzen mit gleicher Basis werden multiplizert, in dem man die Basis beibehält, und die Exponenten addiert.

    Bsp.: \(7^{-3} \cdot 7^8 = 7^{-3+8} = 7^5 \)

 

  • Division bei gleicher Basis:

    \(a^m : a^n = a^{m-n} \)

    Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, in dem man die Basis beibehält, und die Exponenten subtrahiert.

    Bsp.: \(9^{10} : 9^{-3} = 9^{10-(-3)} = 9^{13} \)

 

  • Multiplikation bei gleichem Exponenten:

    \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \)

    Potenzen mit gleichem Exponenten werden multiplizert, in dem man die Basis multipliziert, und den Exponent beibehält.

    Bsp.: \(5^{7} \cdot 2^7 = (5 \cdot 2)^{7} =10^7 \)

 

  • Division bei gleichem Exponenten:

    \(a^n : b^n = \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n \)

    Potenzen mit gleicher Basis werden multiplizert, in dem man die Basis beibehält, und die Exponenten addiert.

    Bsp.: \(20^{6} : 2^6 = \frac{20^6}{2^6} = (\frac{20}{2})^6 = 10^6 \)

 

  • Potenzieren von Potenzen:

    Eine Potenz wird nochmals potenziert, d.h. eine weitere Hochzahl "kommt hinzu".

    \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)

    Wird eine Potenz potenziert, so bleibt die Basis gleich. Die Exponenten werden multipliziert.

    Bsp.: \( (3^7)^5 = 3^{7 \cdot 5} = 3^{35} \)

 

Rechnen mit Basis 10

Ist die Basis 10, so lässt sich der Potenzwert sehr einfach berechnen.

  • Basis 10 mit positivem Exponent

    \( 10^n = 1\underbrace{000...000}_{n-mal} \)

    Schreibe eine 1 und so viele Nullen, wie im Exponent steht.

    Bsp.: \( 10^7 = 10.000.000 \)

 

  • Basis 10 mit negativem Exponent

    \( 10^{-n} = \underbrace{0,00...000}_{n-mal}1 \)

    Schreibe so viele Nullen, wie im Exponent steht und dahinter eine 1. Setze nach der ersten 0 ein Komma.

    Bsp.: \( 10^{-9} = 0,000000001 \)

 

 

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