Es gilt: \( \mathbb{G} = \mathbb{Q} \)
Ziel ist es, Ungleichungen so umzuformen, dass auf einer Seite des Ungleichheitszeichen nur die Variable und auf der anderen Seite nur eine Zahl steht. Üblicherweise sammelt man Variable links und die Zahlen rechts.
Bsp.: \( -5 \cdot x + 6 < 24 - 2 \cdot x \)
1. Strichumformung:
Zahlen, die nicht mit einer Variablen multipliziert werden, schafft man mit der Umkehrrechnung auf die rechte Seite.
Dabei wird hinter einem Strich aufgeschrieben, wie man die Gleichung verändern möchte.
\( \begin{align*}
&-5 \cdot x + 6 &&< 24 - 2 \cdot x & \\
\Leftrightarrow &-5 \cdot x \color{orange}{+ 6} &&< 24 - 2 \cdot x & | \color{red}{- 6}\\
\Leftrightarrow &-5 \cdot x + 6 \color{red}{- 6} &&< 24 - 2 \cdot x \color{red}{- 6} & \\
\Leftrightarrow &-5 \cdot x &&< 18 - 2 \cdot x &
\end{align*} \)
Alle Zahlfaktoren mit ihren Variablen schafft man mit der Umkehrrechnung auf die linke Seite.
Dabei wird hinter einem Strich aufgeschrieben, wie man die Gleichung verändern möchte.
\( \begin{align*}
\Leftrightarrow &-5 \cdot x &&< 18 \color{orange}{- 2 \cdot x} & | \color{red}{+ 2 \cdot x} \\
\Leftrightarrow &-5 \cdot x \color{red}{+ 2 \cdot x} &&< 18 -2 \cdot x \color{red}{+ 2 \cdot x} & \\
\Leftrightarrow &-3 \cdot x &&<18 &
\end{align*} \)
2. Punktumformung
Teile die gesamte Gleichung durch den Zahlfaktor, der vor der Variablen steht. Das bedeutet, dass der Zahlfaktor vor der Variable durch sich selbst geteilt wird, somit = 1 wird und weggelassen werden kann. Die Variable steht nun alleine da. Zusätzlich muss die Zahl auf der rechten Seite durch den Zahlfaktor geteilt werden.
! Wird durch eine negative Zahl geteilt, so dreht sich das Ungleichheitszeichen um (Inversionsgesetz).
Dabei wird hinter einem Strich aufgeschrieben, wie man die Gleichung veränderen möchte.
\( \begin{align*}
\Leftrightarrow &\color{red}{-3} \cdot x &&< 18 & | \color{red}{: (-3)} & (\color{violet}{Inversionsgesetz}) \\
\Leftrightarrow &1 \cdot x && \color{violet}{>} 18 \color{red}{: (-3)} & & \\
\Leftrightarrow &x &&> - 6 & &
\end{align*} \)
3. Lösungsmenge
Jetzt steht auf der linken Seite nur noch eine Variable, rechts nur noch eine Zahl. Da bei Ungleichungen nicht eine spezielle Zahl, sondern eine ganze Menge von Zahlen als Lösung in Frage kommen, wird die Lösungsmenge auch wie folgt aufgeschrieben.
\( \mathbb{L} = \{x | x > -6 \} \)
"Die Lösungsmenge entpricht den Zahlen für x mit der Eigenschaft \( x > -6 \)."
