Grundwissen
Rationale Zahlen
Zu der Menge der rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) gehören die positiven rationalen Zahlen, die negativen rationalen Zahlen und die Null. Rationale Zahlen kann man als Brüche oder Dezimalbrüche (Kommazahlen) darstellen.
Es gilt: \(\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}\)
Der Betrag
Die Bildpunkt von -1,2 und +1,2 haben auf der Zahlengerade die gleiche Entfernung 1,2 LE vom Nullpunkt. Die Maßzahl 1,2 heißt Betrag von -1,2 und +1,2.
Man schreibt:
\(| - 1,2| = 1,2\)
\(| + 1,2| = 1,2\)
Addieren & Subtrahieren
Gleiche Zeichen
Addiere Beträge und setze das gemeinsame Zeichen.
Verschiedene Zeichnen
Subtrahiere den kleineren vom größeren Betrag und setze das Zeichen der Zahl mit dem größeren Betrag.
Kommutativgesetz (Addition)
Für alle Zahlen gilt:
Assoziativgesetz (Addition)
Für alle Zahlen gilt:
Multiplizieren & Dividieren
Gleiche Zeichen
Das Ergebnis ist immer positiv (+). Multipliziere/dividiere die Beträge.
Verschiedene Zeichen
Das Ergebnis ist immer negativ (-). Multipliziere/Dividiere die Beträge.
Vorsicht! Division durch 0 (Null) ist nicht zulässig.
Kommutativgesetz (Multiplikation)
Für alle Zahlen gilt:
Assoziativgesetz (Multiplikation)
Für alle Zahlen gilt:
Distributivgesetz
Für alle Zahlen gilt:
Ausmultiplizieren
Ausklammern
Potenzen
Ein Produkt aus gleichen Faktoren kann als Potenz geschrieben werden.
Potenzen multiplizieren und dividieren
Für alle Zahlen und
gilt:
Für und
gilt:
Potenzen potenzieren
Für und
gilt:
Zehnerpotenzen
Große Zahlen können als Produkt einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz mit positivem Exponenten dargestellt werden.
Große Zahlen können als Produkt einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz mit negativem Exponenten dargestellt werden.
Direkte Proportionalität
Bewegt sich ein Fahrzeig mit konstanter Geschwindigkeit, so kann der Zeit x Stunden ein Weg y km zugeordent werden.
Eine solche Zuordnung nenn man direkt proportional und schreibt .
Die Zahlenpaare einer direkt proportionalen Zuordnung sind quotientengleich.
oder allgemein:
k heißt Proportionalitätsfaktor.
Stellt man den Zusammenhang zwischen der Zeit x h und Weg y km grafisch dar, so liegen bei einer direkten Proportionalität die Punkte auf einer Halbgeraden mit dem Anfangspunkt im Ursprung:
(Grafik einfügen)
Ist so eine grafische Darstellung gegeben, so kann man daraus zu jedem Wert x den zugehörigen Wert y ablesen, z. B. für die Zeit 5 h wird der Weg 200 km abgelesen und umgekehrt.
Indirekte Proportionalität
Eine Rolle Draht lässt sich in 8 jeweils 1,20 m lange Stücke zerschneiden.
Anzahl -> Länge pro Stück
Hälfte der Anzahl -> doppelte Länge
Drittel der Anzal -> dreifache Länge
Doppelte Anzahl -> halbe Länge
Dreifache Anzahl -> Drittel Länge
Eine solche Zuordnung nennt man indirekt proportional. Man sagt: Die Anzahl ist indirekt proportional zur Länge.
Diese Zuordnung kann man auch mithilfe geordneter Maßzahlenpaare darstellen:
Die Zahlenpaare einer indirekt proportionalen Zuordnung sind produktgleich:
tellt man den Zusammenhang zwischen der Anzahl x und der Länge y m grafisch dar, so liegen die Punkte auf einem Hyperbelast.
(Grafik einfügen)
Prozentrechnung
Ein Hundertstel einer Gesamtgröße nennt man ein Prozent.
GW = Grundwert
PW = Prozentwert
P = Prozentsatz
Prozentsatz gesucht
Bsp.:
45 m von 50 m
A: Es sind 90%
Prozentwert gesucht
Grundwert gesucht
Vermehrter Grundwert
Alter Preis: 20 €
Preiserhöhung: 25%
Zinsrechnung
Z = Zinsen (-> Prozentwert)
K = Kapital (-> Grundwert)
p = Zinssatz (-> Prozentsatz)
Zinssatz (p) gesucht
A: Es sind 11 %
Zinsen (Z) gesucht
A: Es sind 14 €.
Kapital gesucht
\( Z = 28 \unicode{0x20AC};\;\;\; p = 4\% ;\;\;\; K = ?\)
\(\begin{align*}
K &=\frac{Z\cdot 100}{p} \\[0.8em]
&=\frac{28\cdot 100}{4} =700
\end{align*}\)
A: Es sind 700 €.