Grundwissen

Geschrieben von TinWing.

Rationale Zahlen

Zu der Menge der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ gehören die positiven rationalen Zahlen, die negativen rationalen Zahlen und die Null. Rationale Zahlen kann man als Brüche oder Dezimalbrüche (Kommazahlen) darstellen.

Es gilt: $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$

Der Betrag

Die Bildpunkt von -1,2 und +1,2 haben auf der Zahlengerade die gleiche Entfernung 1,2 LE vom Nullpunkt. Die Maßzahl 1,2 heißt Betrag von -1,2 und +1,2.

Man schreibt:

$| - 1,2| = 1,2$

$| + 1,2| = 1,2$

Addieren & Subtrahieren

Gleiche Zeichen

Addiere Beträge und setze das gemeinsame Zeichen.

$\begin{array}{l} + 0,8 + 5,3 = + 6,1\\ - 0,8 - 5,3 = - 6,1 \end{array}$

Verschiedene Zeichnen

Subtrahiere den kleineren vom größeren Betrag und setze das Zeichen der Zahl mit dem größeren Betrag.

$\begin{array}{l} + 0,8 - 5,3 = - 4,5\\ - 0,8 + 5,3 = + 4,5 \end{array}$

Kommutativgesetz (Addition)

Für alle Zahlen $a,b\; \in \;\mathbb{Q}$ gilt:

$a + b = b + a$

$3 + 6 = 6 + 3$

Assoziativgesetz (Addition)

Für alle Zahlen $a,b,c\; \in \;\mathbb{Q}$ gilt:

$(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c$

$(3 + 5) + 9 = 3 + (5 + 9) = 3 + 5 + 9$

Multiplizieren & Dividieren

Gleiche Zeichen

Das Ergebnis ist immer positiv (+). Multipliziere/dividiere die Beträge.

$\left( { + \frac{3}{4}} \right) \cdot \left( { + \frac{7}{8}} \right) = + \frac{{3 \cdot 7}}{{4 \cdot 8}} = + \frac{{21}}{{32}}$

$\left( { - 3\frac{2}{5}} \right) \cdot \left( { - \frac{3}{7}} \right) = + \frac{{17 \cdot 3}}{{5 \cdot 7}} = + \frac{{51}}{{35}}$

$\left( { + 8} \right):\left( { + \frac{3}{5}} \right) = + \frac{{8 \cdot 5}}{{1 \cdot 3}} = + \frac{{40}}{3}$

$\left( { - \frac{3}{7}} \right):\left( { - 8} \right) = + \frac{{3 \cdot 1}}{{7 \cdot 8}} = + \frac{3}{{56}}$

Verschiedene Zeichen

Das Ergebnis ist immer negativ (-). Multipliziere/Dividiere die Beträge.

Vorsicht! Division durch 0 (Null) ist nicht zulässig.

$\left( { + \frac{5}{7}} \right) \cdot \left( { - \frac{7}{3}} \right) = - \frac{{5 \cdot 7}}{{7 \cdot 3\;}} = - \frac{5}{3}$

$\left( { - \frac{8}{3}} \right) \cdot \left( { + 4} \right) = - \frac{{8 \cdot 4}}{{3 \cdot 1}} = + \frac{{32}}{3}$

$\left( { + \frac{5}{4}} \right):\left( { - \frac{7}{3}} \right) = - \frac{{5 \cdot 3}}{{4 \cdot 7}} = - \frac{{15}}{{28}}$

$\left( { - \frac{{12}}{3}} \right):\left( { - \frac{6}{5}} \right) = - \frac{{12 \cdot 5}}{{3 \cdot 6}} = - \frac{{10}}{3}$

Kommutativgesetz (Multiplikation)

Für alle Zahlen $a,b\; \in \;\mathbb{Q}$ gilt:

$a \cdot b = b \cdot a$

$3 \cdot 6 = 6 \cdot 3$

Assoziativgesetz (Multiplikation)

Für alle Zahlen $a,b,c\; \in \;\mathbb{Q}$ gilt:

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b \cdot c$

$(3 \cdot 5) \cdot 9 = 3 \cdot (5 \cdot 9) = 3 \cdot 5 \cdot 9$

Distributivgesetz

Für alle Zahlen $a,b,c\; \in \;\mathbb{Q}$ gilt:

Ausmultiplizieren

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

$5 \cdot \left( {\frac{1}{5} + \frac{3}{{15}}} \right) = 5 \cdot \frac{1}{5} + 5 \cdot \frac{3}{{15}}$

Ausklammern

$a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$

$- 3,8 \cdot 4 - 3,8 \cdot 6 - 3,8 \cdot 11 = - 3,8 \cdot (4 + 6 + 11)$

Potenzen

Ein Produkt aus gleichen Faktoren kann als Potenz geschrieben werden.

$\underbrace {a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\;Faktoren} = {a^n}$

Potenzen multiplizieren und dividieren

Für alle Zahlen $a,b\; \in \;\mathbb{Q}$ und $m,n \in \mathbb{N}$ gilt:

${a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}}$

${3^5} \cdot {3^7} = {3^{5 + 7}} = {3^{12}}$

${a^m} \cdot {b^m} = {(a \cdot b)^m}$

${3^5} \cdot {8^5} = {(3 \cdot 8)^5}$

Für $a,b \in \mathbb{Q}\backslash \{ 0\}$ und $m,n \in \mathbb{N}$ gilt:

$\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}$

$\frac{{{3^7}}}{{{3^5}}} = {3^{7 - 5}} = {3^2}$

${a^{ - m}} = \frac{1}{{{a^m}}}$

${3^{ - 7}} = \frac{1}{{{3^7}}}$

$\frac{{{a^m}}}{{{b^m}}} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^m}$

$\,\frac{{{3^4}}}{{{7^4}}} = {\left( {\frac{3}{7}} \right)^4}$

Potenzen potenzieren

Für $a \in \mathbb{Q}$ und $m,n \in \mathbb{N}$ gilt:

${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m \cdot n}}$

${\left( {{3^4}} \right)^7} = {3^{4 \cdot 7}} = {3^{28}}$

Zehnerpotenzen

Große Zahlen können als Produkt einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz mit positivem Exponenten dargestellt werden.

$63\,000\,000 = 63 \cdot {10^6}$

$7,25 \cdot {10^5} = 725\,000$

Große Zahlen können als Produkt einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz mit negativem Exponenten dargestellt werden.

$0.00054 = 5,4 \cdot {10^{ - 4}}$

$6,663 \cdot {10^{ - 10}} = 0,0000000006663$

Direkte Proportionalität

Bewegt sich ein Fahrzeig mit konstanter Geschwindigkeit, so kann der Zeit x Stunden ein Weg y km zugeordent werden.

dirporop

Eine solche Zuordnung nenn man direkt proportional und schreibt $x \sim y$ .

Die Zahlenpaare einer direkt proportionalen Zuordnung sind quotientengleich.

$\frac{{80}}{2} = \frac{{160}}{4} = \frac{{240}}{6} = \ldots = 40$

oder allgemein:

$\frac{y}{x} = k$

k heißt Proportionalitätsfaktor.

Stellt man den Zusammenhang zwischen der Zeit x h und Weg y km grafisch dar, so liegen bei einer direkten Proportionalität die Punkte auf einer Halbgeraden mit dem Anfangspunkt im Ursprung:

(Grafik einfügen)

Ist so eine grafische Darstellung gegeben, so kann man daraus zu jedem Wert x den zugehörigen Wert y ablesen, z. B. für die Zeit 5 h wird der Weg 200 km abgelesen und umgekehrt.