Grundwissen

Geschrieben von TinWing.

 

 


 

Rationale Zahlen

Zu der Menge der rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) gehören die positiven rationalen Zahlen, die negativen rationalen Zahlen und die Null. Rationale Zahlen kann man als Brüche oder Dezimalbrüche (Kommazahlen) darstellen.

Es gilt: \(\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}\)

 

 

Der Betrag

Die Bildpunkt von -1,2 und +1,2 haben auf der Zahlengerade die gleiche Entfernung 1,2 LE vom Nullpunkt. Die Maßzahl 1,2 heißt Betrag von -1,2 und +1,2.

Man schreibt:

\(| - 1,2| = 1,2\)

\(| + 1,2| = 1,2\)

 

 

Addieren & Subtrahieren

Gleiche Zeichen

Addiere Beträge und setze das gemeinsame Zeichen.

\begin{array}{l}
 + 0,8 + 5,3 =  + 6,1\\
 - 0,8 - 5,3 =  - 6,1
\end{array}

 

Verschiedene Zeichnen

Subtrahiere den kleineren vom größeren Betrag und setze das Zeichen der Zahl mit dem größeren Betrag.

\begin{array}{l}
 + 0,8 - 5,3 =  - 4,5\\
 - 0,8 + 5,3 =  + 4,5
\end{array}

 

Kommutativgesetz (Addition)

Für alle Zahlen a,b\; \in \;\mathbb{Q} gilt:

a + b = b + a

3 + 6 = 6 + 3

 

Assoziativgesetz (Addition)

Für alle Zahlen a,b,c\; \in \;\mathbb{Q} gilt:

(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

(3 + 5) + 9 = 3 + (5 + 9) = 3 + 5 + 9

 

 

Multiplizieren & Dividieren

Gleiche Zeichen

Das Ergebnis ist immer positiv (+). Multipliziere/dividiere die Beträge.

 \left( { + \frac{3}{4}} \right) \cdot \left( { + \frac{7}{8}} \right) =  + \frac{{3 \cdot 7}}{{4 \cdot 8}} =  + \frac{{21}}{{32}}

\left( { - 3\frac{2}{5}} \right) \cdot \left( { - \frac{3}{7}} \right) =  + \frac{{17 \cdot 3}}{{5 \cdot 7}} =  + \frac{{51}}{{35}}

 

\left( { + 8} \right):\left( { + \frac{3}{5}} \right) =  + \frac{{8 \cdot 5}}{{1 \cdot 3}} =  + \frac{{40}}{3}

\left( { - \frac{3}{7}} \right):\left( { - 8} \right) =  + \frac{{3 \cdot 1}}{{7 \cdot 8}} =  + \frac{3}{{56}}

 

Verschiedene Zeichen

Das Ergebnis ist immer negativ (-). Multipliziere/Dividiere die Beträge.

Vorsicht! Division durch 0 (Null) ist nicht zulässig.

\left( { + \frac{5}{7}} \right) \cdot \left( { - \frac{7}{3}} \right) =  - \frac{{5 \cdot 7}}{{7 \cdot 3\;}} =  - \frac{5}{3}

\left( { - \frac{8}{3}} \right) \cdot \left( { + 4} \right) =  - \frac{{8 \cdot 4}}{{3 \cdot 1}} =  + \frac{{32}}{3}

 

\left( { + \frac{5}{4}} \right):\left( { - \frac{7}{3}} \right) =  - \frac{{5 \cdot 3}}{{4 \cdot 7}} =  - \frac{{15}}{{28}}

\left( { - \frac{{12}}{3}} \right):\left( { - \frac{6}{5}} \right) =  - \frac{{12 \cdot 5}}{{3 \cdot 6}} =  - \frac{{10}}{3}

 

Kommutativgesetz (Multiplikation)

Für alle Zahlen a,b\; \in \;\mathbb{Q} gilt:

a \cdot b = b \cdot a

3 \cdot 6 = 6 \cdot 3

 

Assoziativgesetz (Multiplikation)

Für alle Zahlen a,b,c\; \in \;\mathbb{Q} gilt:

(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b \cdot c

(3 \cdot 5) \cdot 9 = 3 \cdot (5 \cdot 9) = 3 \cdot 5 \cdot 9

 

Distributivgesetz

Für alle Zahlen a,b,c\; \in \;\mathbb{Q} gilt:

 

Ausmultiplizieren

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

5 \cdot \left( {\frac{1}{5} + \frac{3}{{15}}} \right) = 5 \cdot \frac{1}{5} + 5 \cdot \frac{3}{{15}}

 

Ausklammern

a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)

 - 3,8 \cdot 4 - 3,8 \cdot 6 - 3,8 \cdot 11 =  - 3,8 \cdot (4 + 6 + 11)

 

 

Potenzen

Ein Produkt aus gleichen Faktoren kann als Potenz geschrieben werden.

\underbrace {a \cdot a \cdot a \cdot  \ldots  \cdot a}_{n\;Faktoren} = {a^n}

 

Potenzen multiplizieren und dividieren

Für alle Zahlen a,b\; \in \;\mathbb{Q} und m,n \in \mathbb{N} gilt:

{a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}}

{3^5} \cdot {3^7} = {3^{5 + 7}} = {3^{12}}

 

{a^m} \cdot {b^m} = {(a \cdot b)^m}

{3^5} \cdot {8^5} = {(3 \cdot 8)^5}

 

Für a,b \in \mathbb{Q}\backslash \{ 0\} und m,n \in \mathbb{N} gilt:

\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}

\frac{{{3^7}}}{{{3^5}}} = {3^{7 - 5}} = {3^2}

 

{a^{ - m}} = \frac{1}{{{a^m}}}

{3^{ - 7}} = \frac{1}{{{3^7}}}

 

\frac{{{a^m}}}{{{b^m}}} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^m}

\,\frac{{{3^4}}}{{{7^4}}} = {\left( {\frac{3}{7}} \right)^4}

 

Potenzen potenzieren

Für a \in \mathbb{Q} und m,n \in \mathbb{N} gilt:

{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m \cdot n}}

{\left( {{3^4}} \right)^7} = {3^{4 \cdot 7}} = {3^{28}}

 

Zehnerpotenzen

Große Zahlen können als Produkt einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz mit positivem Exponenten dargestellt werden.

63\,000\,000 = 63 \cdot {10^6}

7,25 \cdot {10^5} = 725\,000

 

Große Zahlen können als Produkt einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz mit negativem Exponenten dargestellt werden.

0.00054 = 5,4 \cdot {10^{ - 4}}

6,663 \cdot {10^{ - 10}} = 0,0000000006663

 

 

Direkte Proportionalität

Bewegt sich ein Fahrzeig mit konstanter Geschwindigkeit, so kann der Zeit x Stunden ein Weg y km zugeordent werden.

 dirporop

Eine solche Zuordnung nenn man direkt proportional und schreibt x \sim y.

Die Zahlenpaare einer direkt proportionalen Zuordnung sind quotientengleich.

\frac{{80}}{2} = \frac{{160}}{4} = \frac{{240}}{6} =  \ldots  = 40

 

oder allgemein:

\frac{y}{x} = k

k heißt Proportionalitätsfaktor.

 

Stellt man den Zusammenhang zwischen der Zeit x h und Weg y km grafisch dar, so liegen bei einer direkten Proportionalität die Punkte auf einer Halbgeraden mit dem Anfangspunkt im Ursprung:

(Grafik einfügen)

Ist so eine grafische Darstellung gegeben, so kann man daraus zu jedem Wert x den zugehörigen Wert y ablesen, z. B. für die Zeit 5 h wird der Weg 200 km abgelesen und umgekehrt.

 

 

Indirekte Proportionalität

Eine Rolle Draht lässt sich in 8 jeweils 1,20 m lange Stücke zerschneiden.

Anzahl -> Länge pro Stück

inddirporop

Hälfte der Anzahl -> doppelte Länge
Drittel der Anzal -> dreifache Länge

Doppelte Anzahl -> halbe Länge
Dreifache Anzahl -> Drittel Länge

Eine solche Zuordnung nennt man indirekt proportional. Man sagt: Die Anzahl ist indirekt proportional zur Länge.

Diese Zuordnung kann man auch mithilfe geordneter Maßzahlenpaare (x|y) darstellen:

(2|4,8);\;(4|2,4);\;(8|1,2);\;(12|0,8)

 

Die Zahlenpaare einer indirekt proportionalen Zuordnung sind produktgleich:

2 \cdot 4,8 = 4 \cdot 2,4 = 8 \cdot 1,2 = 12 \cdot 0,8 = 9,6

tellt man den Zusammenhang zwischen der Anzahl x und der Länge y m grafisch dar, so liegen die Punkte auf einem Hyperbelast.

(Grafik einfügen)

 

 

Prozentrechnung

Ein Hundertstel einer Gesamtgröße nennt man ein Prozent.

\frac{1}{{100}} = 1\%

 

\frac{{PW}}{{GW}} = \frac{p}{{100}}

 

GW = Grundwert
PW = Prozentwert
P = Prozentsatz

 

Prozentsatz gesucht

\frac{{PW}}{{GW}} = \frac{p}{{100}}\quad | \cdot 100

 

p = \frac{{PW \cdot 100}}{{GW}}

 

Bsp.:

45 m von 50 m

p = \frac{{45 \cdot 100}}{{50}}\quad

     = 90

A: Es sind 90%

 

Prozentwert gesucht

PW = \frac{{GW \cdot p}}{{100}}

 

Grundwert gesucht

GW = \frac{{PW \cdot 100}}{p}

 

Vermehrter Grundwert

Alter Preis: 20 €

Preiserhöhung: 25%

{\rm{Alter Preis }} \to  \cdot 1,25 \to {\rm{ Neuer Preis}}

{\rm{Alter Preis }} \leftarrow :1,25 \leftarrow {\rm{ Neuer Preis}}

 

20\;Euro \to  \cdot 1,25 \to \;25\;Euro

20\;Euro \leftarrow :1,25 \leftarrow \;25\;Euro

 

Zinsrechnung

\frac{Z}{K} = \frac{p}{{100}}

Z = Zinsen (-> Prozentwert)
K = Kapital (-> Grundwert)
p = Zinssatz (-> Prozentsatz)

 

Zinssatz (p) gesucht

K = 400\,Euro;\quad Z = 44\,Euro;\quad p = ?

p = \frac{{Z \cdot 100}}{K}

 

p = \frac{{44 \cdot 100}}{{400}} = 11

A: Es sind 11 %

 

Zinsen (Z) gesucht

K = 200\,Euro;\quad p = 7\% ;\quad Z = ?

Z = \frac{{K \cdot p}}{{100}}

 

Z = \frac{{200 \cdot 7}}{{100}} = 14

A: Es sind 14 €.

 

Kapital gesucht

\( Z = 28 \unicode{0x20AC};\;\;\; p = 4\% ;\;\;\; K = ?\)

\(\begin{align*}
  K &=\frac{Z\cdot 100}{p} \\[0.8em]
  &=\frac{28\cdot 100}{4} =700  
\end{align*}\)

 

A: Es sind 700 €.

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