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Binomische Formel

Geschrieben von TinWing.

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Theorie

Wozu braucht man binomische Formeln und was sind sie eigentlich?

Genau genommen bräuchte man die binomischen Formeln nicht. Ebenfalls könnten wir die Potenzschreibweise für besondere Multiplikationen weglassen. Und da Multiplikationen eigentlich nur spezelle Additionen sind, brauchen wir die auch nicht. Eigentlich...

Es ist trotzdem schön, anstatt \( 3+3+3+3+3+3+3+3+3 \) einfach nur \( 3^3 \) schreiben zu können. So bieten auch die binomische Formeln die Möglichkeit, spezielle Terme ohne großartige und langwierige Rechnungen umformen zu können.

Auf binomische Formeln trifft man beim Rechnen mit Klammern, also Ausmultiplizieren und Ausklammern. Allerdings müssen auch hier spezielle Terme vorliegen, um die binomische Formeln überhaupt ansetzen zu können.

\( (a + b) \cdot (a + b) = (a + b)^2 \)

\( (a - b) \cdot (a - b) = (a - b)^2 \)

\( (a + b) \cdot (a - b) \)

\( a \) steht hierbei für eine beliebige Zahl und  \( b \) steht für eine beliebige Zahl.

Wie man aus diesen drei Beispielen sehen kann, werden jeweils zwei Klammern mit zwei gleichen Zahlen multipliziert, die sich nur in ihren Vor-/Rechenzeichen unterscheiden können. Daraus ergibt sich auch gleich die Anzahl der binomischen Formeln, da (fast) alle anderen Variationen mit Vor- und Rechenzeichen auf eine dieser Drei zurückzuführen ist.

Binom bedeutet "Zwei Namen" und heißt nichts anderes, als dass zwei Zahlen addiert/subtrahiert werden \( (a+-b) \). Bei der binomischen Formel werden zwei spezielle Binome multipliziert.

 

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Erste binomische Formel

Haben alle Zahlen beider Klammern das gleiche Vorzeichen, egal ob + oder -, so spricht man von der 1. binomischen Formel.

\( (a + b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 \)

\( (-a - b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 \)

 

Herleitung:

\( (a + b)^2 \)

Hochzahl auflösen.

\( = (a + b) \cdot (a + b) \)

Klammern multiplizieren (Jeder Summand der ersten Klammer multipliziert mit jedem Summand der zweiten Klammer).

\( = (\underbrace{\color{red}{a}}_{1.Summ.} \, \underbrace{\color{blue}{+ \quad b}}_{2.Summ.}) \cdot (\underbrace{\color{green}{a}}_{1.Summ.} \, \underbrace{\color{violet}{+ \quad b}}_{2.Summ.}) \)

\( = \underbrace{\color{red}{a}}_{1.S} \cdot \underbrace{\color{green}{a}}_{1.S} + \underbrace{\color{red}{a}}_{1.S} \cdot \underbrace{\color{violet}{b}}_{2.S} + \underbrace{\color{blue}{b}}_{2.S} \cdot \underbrace{\color{green}{a}}_{1.S} + \underbrace{\color{blue}{b}}_{2.S} \cdot \underbrace{\color{violet}{b}}_{2.S} \)

Vereinfachen und Zusammenfassen.

\( = a^2 + a \cdot b + b \cdot a + b^2 \)

\( = a^2 + a \cdot b + a \cdot b + b^2 \)

\( = a^2 + 2\cdot a \cdot b + b^2 \)

 

Durch das Gleichheitszeichen darf man nun von der ersten Zeile gleich auf die Letzte schließen. Die 1. binomische Formel besteht also aus:

\( (a + b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 \)

Egal, welche Zahlen für \( a \) oder für \( b \) eingesetzt werden.

 

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Zweite binomische Formel

Haben die beiden Zahlen in der Klammer unterschiedliche Vorzeichen, so spricht man von der 2. binomischen Formel.

\( (a - b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2 \)

\( (-a + b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2 \)

 

Herleitung:

\( (a - b)^2 \)

Hochzahl auflösen.

\( = (a - b) \cdot (a - b) \)

Klammern multiplizieren (Jeder Summand der ersten Klammer multipliziert mit jedem Summand der zweiten Klammer).

\( = (\underbrace{\color{red}{a}}_{1.Summ.} \, \underbrace{\color{blue}{- \quad b}}_{2.Summ.}) \cdot (\underbrace{\color{green}{a}}_{1.Summ.} \, \underbrace{\color{violet}{- \quad b}}_{2.Summ.}) \)

\( = \underbrace{\color{red}{a}}_{1.S} \cdot \underbrace{\color{green}{a}}_{1.S} + \underbrace{\color{red}{a}}_{1.S} \cdot ( \underbrace{\color{violet}{-b}}_{2.S} ) + ( \underbrace{\color{blue}{-b}}_{2.S} ) \cdot \underbrace{\color{green}{a}}_{1.S} + ( \underbrace{\color{blue}{-b}}_{2.S} ) \cdot ( \underbrace{\color{violet}{-b}}_{2.S} ) \)

Vereinfachen und Zusammenfassen.

\( = a^2 + a \cdot (-b) + (-b) \cdot a + b^2 \)

\( = a^2 - a \cdot b - a \cdot b + b^2 \)

\( = a^2 - 2\cdot a \cdot b + b^2 \)

 

Durch das Gleichheitszeichen darf man nun von der ersten Zeile gleich auf die Letzte schließen. Die 2. binomische Formel besteht also aus:

\( (a - b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2 \)

Egal, welche Zahlen für \( a \) oder für \( b \) eingesetzt werden.

 

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Dritte binomische Formel

Hat nur eine Zahl in beiden Klammern unterschiedliche Vorzeichen, so spricht man von der 3. binomischen Formel.

\( (a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2 \)

\( (a + b) \cdot (-a + b) = -a^2 + b^2 \)

\( (a - b) \cdot (a + b) = a^2 - b^2 \)

\( (-a + b) \cdot (a + b) = -a^2 + b^2 \)

 

Herleitung:

\( (a + b) \cdot (a - b) \)

Klammern multiplizieren (Jedes Element der ersten Klammer multipliziert mit jedem Element der zweiten Klammer).

\( = (\underbrace{\color{red}{a}}_{1.Summ.} \, \underbrace{\color{blue}{+ \quad b}}_{2.Summ.}) \cdot (\underbrace{\color{green}{a}}_{1.Summ.} \, \underbrace{\color{violet}{- \quad b}}_{2.Summ.}) \)

\( = \underbrace{\color{red}{a}}_{1.S} \cdot \underbrace{\color{green}{a}}_{1.S} + \underbrace{\color{red}{a}}_{1.S} \cdot ( \underbrace{\color{violet}{-b}}_{2.S} ) + \underbrace{\color{blue}{b}}_{2.S} \cdot \underbrace{\color{green}{a}}_{1.S} + \underbrace{\color{blue}{b}}_{2.S} \cdot ( \underbrace{\color{violet}{-b}}_{2.S} ) \)

Vereinfachen und Zusammenfassen.

\( = a^2 + a \cdot (-b) + b \cdot a - b^2 \)

\( = a^2 - a \cdot b + a \cdot b - b^2 \)

\( = a^2 - b^2 \)

 

Durch das Gleichheitszeichen darf man nun von der ersten Zeile gleich auf die Letzte schließen. Die 3. binomische Formel besteht also aus:

\( (a + b) \cdot (a - b) = a^2 -  b^2 \)

Egal, welche Zahlen für \( a \) oder für \( b \) eingesetzt werden.

 

Achtung:

\( (a - b) \cdot (-a + b) \to \text{Keine binomische Formel} \)

\( (-a + b) \cdot (a - b) \to \text{Keine binomische Formel} \)

 

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