\( T(x) = -5 \cdot x^2 + 35 \cdot x +8 \)
Klammere zuerst den Zahlfaktor vor x² aus den ersten beiden Summanden aus. Steht nur ein Minuszeichen vor dem x², so heißt der Zahlfaktor -1. Sollte es keinen Zahlfaktor vor x² geben, so ist er automatisch 1 und das Ausklammern kann übersprungen werden.
Die letzte Zahl (Zahl ohne Variable) wird einfach abgeschrieben, sofern vorhanden.
\( \begin{align*}
&= \color{red}{-5} \cdot x^2 + 35 \cdot x &+ 8 \\[0.8em]
&= \color{red}{-5} \cdot [x^2 \color{orange}{- 7} \cdot x ] &+ 8
\end{align*}\)
Um die binomische Formel zu erkennen ist es sinnvoll, den Zahlfaktor vor \( x \) umzuformen in \( 2 \cdot Zahl \cdot x \).
\( \begin{align*}
&= -5 \cdot [x^2 - \color{red}{7} &\cdot x ]+ 8 \\[0.8em]
&= -5 \cdot [x^2 - \color{red}{2 \cdot 3,5} &\cdot x ]+ 8 \\[0.8em]
\end{align*}\)
Das was in der eckigen Klammer steht bildet den Anfang einer binomischen Formel. Wird diese mit der entsprechenden binomischen Formel \( a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2 \) verglichen, fällt auf, dass das zweite Quadrat (das \( b^2 \) ) der binomischen Formel fehlt. Beim direkten Vergleich sieht man allerdings auch sofort, welcher Zahl das \( b \) entspricht und was dementsprechend \( b^2 \) ist.
\( \begin{align*}
= -5 \cdot [&\color{red}{x}^2 &- 2 \cdot &\color{blue}{3,5} &\cdot \color{red}{x} & &]+ 8 \\[0.8em]
&\color{red}{a}^2 &- 2 \cdot &\color{blue}{b} &\cdot \color{red}{a} &+ \color{blue}{b}^2 &
\end{align*}\)
Es ist nun bekannt, welcher Term fehlt, um die binomische Formel zu vervollständigen. Diesen fehlenden Term darf man aber nicht einfach dazuaddieren, ohne dass dabei der Termwert verändert wird. Deswegen geht man folgender Überlegung nach:
- Addiert man zu einem Term die \( 0 \), so verändert sich der Termwert nicht.
- \( 0 \) kann man wiederum umschreiben, indem man eine beliebige Zahl von sich selbst abzieht. Also \( Zahl - Zahl = 0 \)
- Wählt man diese beliebige Zahl so, dass sie dem fehlenden Term der binomischen Formel entspricht, kann man die eckige Klammer also so ergänzen, dass man eine binomische Formel erhält, ohne dass sich der Termwert ändert.
Kurz: Addiere die quadratische Ergänzung zur binomischen Formel und ziehe sie gleich wieder ab.
\( \begin{align*}
&= -5 \cdot [x^2 - 2 \cdot \color{blue}{3,5} \cdot x &]+ 8 \\[0.8em]
&= -5 \cdot [x^2 - 2 \cdot \color{blue}{3,5} \cdot x \color{violet}{+ 0} &]+ 8 \\[0.8em]
&= -5 \cdot [x^2 - 2 \cdot \color{blue}{3,5} \cdot x \color{blue}{+ 3,5}^2 \color{blue}{- 3,5}^2 &]+ 8
\end{align*}\)
Die ersten drei Terme der eckigen Klammer werden nun entsprechend der binomischen Formeln \( a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2 \) umgeformt. Aus \( x^2 \) erhält man \( x \), aus \( -2 \cdot 3,5 \cdot x \) bekommen wir das Vorzeichen (der Rest entfällt) und aus \( 3,5^2 \) erhält man \( 3,5 \).
Zudem gilt: \( -3,5^2 = -12,25 \).
\( \begin{align*}
&= -5 \cdot [\color{red}{x^2 - 2 \cdot 3,5 \cdot x + 3,5^2} &- \color{orange}{3,5^2} &]+ 8 \\[0.8em]
&= -5 \cdot [\color{red}{(x - 3,5)^2} &- \color{orange}{12,25} &] + 8
\end{align*}\)
Da nun die binomische Formel erfolgreich angewandt wurde, löst man nun die eckige Klammer durch Ausmultiplizieren wieder auf. Es gilt also, das der Faktor vor der Klammer erst mit dem 1. Summanden \( (x-3,5)^2 \) und dann mit dem 2. Summanden \( -12,25 \) multipliziert wird.
\( \begin{align*}
&= \color{red}{- 5} \cdot [ \underbrace{\color{orange}{(x-3,5)^2}}_{1.Sum} \underbrace{\color{orange}{-12,25}}_{2.Sum}] + 8 \\[0.8em]
&= \color{red}{- 5} \cdot \color{orange}{(x-3,5)^2} \color{red}{-5} \cdot (\color{orange}{-12,25}) + 8
\end{align*}\)
Der komplette Term wird nun noch soweit wie möglich vereinfacht. Dazu rechnet man die letzten drei Terme zusammen.
\( \begin{align*}
&=-5 \cdot (x-3,5)^2 \color{red}{-5 \cdot (-12,25) + 8} \\[0.8em]
&= -5 \cdot (x-3,5)^2 \color{red}{+ 69,25}
\end{align*}\)
Nun ist der Term vollständig in die Scheitelform umgeformt und der Extremwert lässt sich auslesen. Das Maximum/Minimum erkennt man am Faktor vor der Klammer (wenn < 0 dann Maximum, wenn > 0 dann Minimum), der entsprechende maximale/minimale Termwert erhält man von der Zahl ohne Variable und den zugehörigen Wert von x erhalten wir vom Gegenwert der Zahl aus der Klammer.
\( \begin{align*}
=\color{red}{-5} \cdot (x \color{blue}{-3,5})^2 \color{orange}{+69,25} \\[0.8em]
T_{\color{red}{Max}} = \color{orange}{69,25} \quad \text{für x =} \color{violet}{+3,5}
\end{align*}\)
