Lineare Gleichungen
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Zu einer Gleichung bzw. Ungleichung erhalten wir eine äquivalente Gleichung bzw. Ungleichung, wenn wir
- auf beiden Seiten den gleichen Termin addieren oder subtrahieren.
- beide Seiten mit der gleichen von Null verschiedenen Zahl multiplizieren oder dividieren
Lösen von linearen Gleichungen
Es gilt: \(\mathbb{G} = \mathbb{Q}\)
Ziel ist es, Gleichungen so umzuformen, dass auf einer Seite des Gleichheitszeichen nur die Variable und auf der anderen Seite nur eine Zahl steht. Üblicherweise sammelt man Variable links und die Zahlen rechts.
\(5 \cdot x - 4 = 2 \cdot x + 9\)
1. Strichumformung:
Zahlen, die nicht mit einer Variablen multipliziert werden, schafft man mit der Umkehrrechnung auf die rechte Seite. Dabei wird hinter einem Strich aufgeschrieben, wie man die Gleichung verändern möchte
\(\begin{align*}
5 \cdot &x \color{red}{- 4} &&= 2 \cdot x + 9 &&| \color{red}{+ 4} \\[0.8em]
\Leftrightarrow 5 \cdot &x \quad &&= 2 \cdot x + 9 \color{red}{+ 4} &&\\[0.8em]
\Leftrightarrow 5 \cdot &x \quad &&=2 \cdot x + 13 &&
\end{align*}\)
Alle Zahlfaktoren mit ihren Variablen schafft man mit der Umkehrrechnung auf die linke Seite. Dabei wird hinter einem Strich aufgeschrieben, wie man die Gleichung verändern möchte.
\(\begin{aligned}
\Leftrightarrow 5 \cdot &x &&=\color{red}{2 \cdot x} + 13 &&|\color{red}{-2 \cdot x} \\[0.8em]
\Leftrightarrow 5 \cdot &x \color{red}{-2 \cdot x} &&= 13 && \\[0.8em]
\Leftrightarrow 3 \cdot &x &&= 13 &&
\end{aligned}\)
2. Punktumformung
Teile die gesamte Gleichung durch den Zahlfaktor, der vor der Variablen steht. Das bedeutet, dass der Zahlfaktor vor der Variable durch sich selbst geteilt wird, somit = 1 wird und weggelassen werden kann. Die Variable steht nun alleine da. Zusätzlich muss die Zahl auf der rechten Seite durch den Zahlfaktor geteilt werden.
Dabei wird hinter einem Strich aufgeschrieben, wie man die Gleichung veränderen möchte.
\(\begin{aligned}
\Leftrightarrow &\color{red}{3} \cdot x &&= 13 &&|\color{red}{:3} \\[0.8em]
\Leftrightarrow & 1 \cdot x &&= \color{red}{13:3} && \\[0.8em]
\Leftrightarrow &x &&= \frac{13}{3} = 4,\overline 3 &&
\end{aligned}\)
3. Lösungsmenge
Jetzt steht auf der linken Seite nur noch eine Variable, rechts nur noch eine Zahl. Die Lösungsmenge entspricht der Zahl.
\(\mathbb{L} = \{ \frac{13}{3} \} = \{ 4,\overline 3 \}\)
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Spezialfälle bei der Lösungsmenge
Es kommt vor, dass durch Äquivalenzumformungen die Variable verschwindet.
\( \begin{align*}
&&-5 \cdot x +2 &&&= -5 \cdot x+10 & | + 5\cdot x \\
\Leftrightarrow && 2 &&&= 10 &
\end{align*} \)
Ist das der Fall, so gibt es zwei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge aussehen kann. Dafür muss die letzte Zeile der Gleichung betrachtet werden.
1. Keine Lösungsmenge/leere Lösungsmenge
Betrachtet man nochmals folgende Gleichung und ihre Umformung.
\( \begin{align*}
&&-5 \cdot x +2 &&&= -5 \cdot x+10 & | + 5\cdot x \\
\Leftrightarrow && 2 &&&= 10 &
\end{align*} \)
Schaut man sich nur die letzte Zeile an, so fällt auf, dass diese Gleichung \( 2 = 10 \) nicht wahr ist. Das heißt, es ist vollkommen egal, welche Zahl man für die Variable einsetzt, die Gleichung kann nie wahr werden. Schließlich ist die Variable durch Umformung weggefallen.
Somit bleibt die Lösungsmenge leer.
\( \mathbb{L} = \{ \} \)
2. Unendlich große Lösungsmenge (bzw. entsprechend der Grundmenge)
Hierfür muss ein anderes Beispiel betrachtet werden.
\( \begin{align*}
&&-7 \cdot x +18 &&&= -7 \cdot x+18 & | + 7\cdot x \\
\Leftrightarrow && 18 &&&= 18 &
\end{align*} \)
Wiederum wird die letzte Zeile angeschaut. Die Gleichung \( 18 = 18 \) ist wahr. Das heißt, es ist vollkommen egal, welche Zahl man für die Variable einsetzt, die Gleichung bleibt immer wahr. Schließlich ist die Variable durch Umformung weggefallen.
Somit beeinhaltet die Lösungsmenge alle Zahlen, die man laut Grundmenge einsetzen darf.
\( \mathbb{L} = \mathbb{G} \)
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