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Über quadratische Funktionen

Geschrieben von TinWing.

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Theorie

Den Graphen einer quadratischen Funktion nennt man Parabel.

Quadratische Funktionen werden überwiegend in folgenden Formen dargestellt:

 

Allgemeine Form: \( y = ax^2 + bx +c \)

Scheitelform: \( y = a \cdot (x - x_s)^2 + y_s \)

 

Je nach Aufgabenstellung ist es manchmal leichter mit der Allgemeinen Form oder mit der Scheitelform zu arbeiten.

 

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Allgemeine Form

Die Allgemein Form hat - wie schon erwähnt - die Form \( y = ax^2 + bx +c \). \( x \) und \( y \) sind dabei (wie bei den linearen Funktionen) die Variablen. \( x \) steht für eine Zahl, die in die Funktion eingesetzt werden kann, \( y \) dagegen ist das Ergebnis für spezielle eingesetzte Zahlen von \( x \).

Der Parameter \( a \) wird Öffnungsfaktor \( a \) (siehe unten) genannt und entspricht dem gleichen Wert \( a \) der Scheitelform.

\( b \) und \( c \) sind ebenfalls Parameter, die für die Verschiebung des Scheitelpunkts verantwortlich sind. Leider kann aus der Allgemeinen Form ohne Umrechnungen keine Aussage getroffen werden, wie sich der Scheitelpunkt genau verschoben hat. In diesem Fall ist es sinnvoller, die quadratische Funktion in die Scheitelform umzuwandeln.

 

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Scheitelform

Die Scheitelform wird deswegen "Scheitel"-form genannt, weil in ihr den Scheitelpunkt (siehe unten) zu erkennen ist.

Die Scheitelform hat wie schon erwähnt die Form \( y = a \cdot (x - x_s)^2 + y_s \). \( x \) und \( y \) sind dabei (wie bei den linearen Funktionen) die Variablen. \( x \) steht für eine Zahl, die in die Funktion eingesetzt werden kann, \( y \) dagegen ist das Ergebnis für spezielle eingesetzte Zahlen von \( x \).

Der Parameter a wird Öffnungsfaktor \( a \) genannt (siehe unten) und entspricht dem gleichen Wert \( a \) wie bei der Allgemeinen Form.

\( x_s \) entspricht der x-Koordinate des Scheitelpunkts.

\( y_s \) entspricht der y-Koordinate des Scheitelpunkts.

 

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Öffnungsfaktor \( a \)

Das Aussehen einer Parabel wird hautpsächlich durch den Öffnungsfaktor \( a \) bestimmt. Dieser Öffnungsfaktor \( a \) ist in der Allgemein Form quadratischer Funktion immer der Zahlfaktor vor dem \( x^2 \) zu erkennen. Bei der Scheitelform steht er vor der Klammer.

Sollte vor \( x^2 \) oder der Klammer keine Zahl zu finden sein, so ist der Öffnungsfaktor \( a \) automatisch 1. Steht nur ein - davor, so ist er automatisch -1.

Ist der Öffnungsfaktor \( a \) = 1 / -1, so nennt man die Parabel auch Normalparabel.

Je nach Wert verändert sich das Aussehen wie folgt:

  • \( a > 1 \) → nach oben geöffnet, gestreckt
  • \( a = 1 \) → nach oben geöffnet, Normalparabel
  • \( a \in ]0;1[ \) → nach oben geöffnet, gestaucht
  • \( a \in ]-1;0[ \) → nach unten geöffnet, gestaucht
  • \( a = -1 \) → nach unten geöffnet, Normalparabel
  • \( a < -1 \) → nach unten geöffnet, gestreckt

 

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Scheitelpunkt

Jede Parabel besitzt einen Scheitelpunkt \( S(x_s|y_s) \). \( x_s \) ist die x-Koordinate des Scheitelpunkts, \( y_s \) ist die y-Koordinate des Scheitelpunkts. Als Scheitelpunkt bezeichnet man den tiefsten bzw. höchsten Punkt einer Parabel.

Eine Parabel besitzt einen Hochpunkt (auch Maximum), wenn die Parabel nach unten geöffnet ist (Öffnungsfaktor \( a \) < 0).

Eine Parabel besitzt einen Tiefpunkt (auch Minimum), wenn die Parabel nach oben geöffnet ist (Öffnungsfaktor \( a \) > 0).

Mit Hilfe des Scheitelpunkts \( S(x_s|y_s) \) kann man eine Funktionsgleichung aufstellen. Dafür setzt man die x-Koordinate \( x_s \) des Scheitelpunkts für das \( x_s \) in der Scheitelform ein. Die y-Koordinate \( y_s \) setzt man für das \( y_s \) der Scheitelform ein.