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Schnittpunkte - Parabel-Gerade

Geschrieben von TinWing.

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Theorie

Schnittpunkte sind Punkte, an denen zwei unterschiedliche Funktionen bei gleichem x-Wert den gleichen y-Wert annehmen.

Zeichnet man die Graphen einer Parabel und einer Gerade in ein Koordinatensysten ein, so gibt es drei Möglichkeiten, wie diese Graphen zueinander liegen können.

  1. Parabel und Gerade schneiden sich in zwei Punkten. Die Gerade wird dann auch Sekante genannt.
  2. Parabel und Gerade berühren sich in einem Punkt. Die Gerade wird dann auch Tangente genannt.
  3. Parabel und Gerade schneiden/berühren sich nicht. Die Gerade wird dann auch Passante genannt.

Doch wie werden nun die Koordinanten der Schnittpunkte berechnet?

Anfang - Gleichsetzen und Umformen

Bsp.: Parabel p: \( y = -x^2 +7x -7,25 \) ; Gerade g: \( y = 4x - 8,5 \)

Wie bereits erwähnt haben zwei unterschiedliche Funktionen an einem Schnittpunkt den gleichen Wert. Funktion 1 muss also in diesem Punkt gleich Funktion 2 sein, oder noch kürzer geschrieben: Funktion1 = Funktion2. Für Funktion1 und Funktion2 setzen wir nun die Funktionsterme ein.

\( -x^2 +7x -7,25 = 4x - 8,5 \)

Wir erhalten eine quadratische Gleichung, die wir mit bekannten Mitteln auflösen können, z.B. über die Lösungsformel quadratischer Gleichungen (Mitternachtsformel). Dafür müssen wir die Gleichung so umformen, dass auf der rechten Seite nur noch ein "= 0" zu finden ist. Der Rechtsterm soll also 0 werden. (Geht auch mit dem Linksterm).

\( -x^2 +7x -7,25 = 4x - 8,5   \;\;\;\; | - 4x +8,5 \)

\( -x^2 +3x +1,25 = 0 \)

 

Diskriminante - Anzahl der Schnittpunkte

Man kann berechnen, wie viele Schnittpunkte es geben wird, ohne die Parabel und Gerade einzeichnen zu müssen. Das ist besonders dann sinnvoll, wenn eine Passante vorliegt, es also keine Schnittpunkte gibt. So spart man sich unnötige Rechnungen. Diese Information erhalten wir über die Diskriminante.

Es gilt:

  • Wenn D > 0, dann gibt es zwei Schnittpunkte (Gerade ist Sekante)
  • Wenn D = 0, dann gibt es einen Berührpunkt (Gerade ist Tangente)
  • Wenn D < 0, dann gibt es keine Schnittpunkte/Berührpunkte (Gerade ist Passante)

Wir berechnen also zuerst die Diskriminante mit \( D = b^2 - 4 \cdot a \cdot c \).

a ist der Faktor vor x², b der Faktor vor x und c die Zahl ohne Variable.

\( -x^2 +3x +1,25 = 0 \)

\( D = (3)^2 - 4 \cdot  (-1) \cdot 1,25 = 14 \)

D > 0, d.h. zwei Schnittpunkte

Wäre D < 0, wären wir an dieser Stelle fertig.

 

Lösungsformel (Mitternachtsformel)

Da wir nun durch die Diskriminante wissen, dass es tatsächlich Schnittpunkte gibt, können diese über die Lösungsformel \( x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \) berechnet werden. Dafür setzen wir für a, b ,c und D die bekannten Größen ein. Zuerst berechnen wir \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \).

a ist der Faktor vor x², b der Faktor vor x, c ist die Zahl ohne Variable und D ist die Diskriminante.

 \( x_1 = \frac{-(3) + \sqrt{14}}{2 \cdot (-1)} = -0,37 \)

Um die Koordinate des Schnittpunktes gleich zu berechnen, setzen wir das berechnete \( x_1 \) für das x der Geradengleichung ein.

\( y_1 = 4 \cdot (-0,37) - 8,5 = -9,98 \)

Die Koordinaten des Schnittpunktes bilden sich aus dem Zahlenpaar \( x_1 \) und \( y_1 \)

\( P_1(-0,37|-9,98) \)

 

Da wir aus der Diskriminante wissen, dass es noch einen zweiten Schnittpunkt gibt, wenden wir die Lösungsformel noch einmal an und berechnen ein \(x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}} {2a} \), setzen danach den berechneten Wert nochmals für das x der Geradengleichung ein und erhalten so unseren zweiten Schnittpunkt.

\( x_2 = \frac{ -(3) - \sqrt{14}}{2\cdot (-1)} = 3,37 \)

\( y_2 = 4 \cdot 3,37 - 8,5 = 4,98 \)

\( P_2(3.37|4,98) \)

 

Mathematische Schreibweise

Bsp.: Parabel p: \( y = -x^2 +7x -7,25 \) ; Gerade g: \( y = 4x - 8,5 \)

\( -x^2 +7x -7,25 = 4x - 8,5   \;\;\;\; | - 4x +8,5 \)

\( -x^2 +3x +1,25 = 0 \)

 

\( D = (3)^2 - 4 \cdot  (-1) \cdot 1,25 = 14 \)

D > 0, d.h. zwei Schnittpunkte

 

\( x_1 = \frac{-(3) + \sqrt{14}}{2 \cdot (-1)} = -0,37 \)

\( y_1 = 4 \cdot (-0,37) - 8,5 = -9,98 \)

\( P_1(-0,37|-9,98) \)

 

\( x_2 = \frac{ -(3) - \sqrt{14}}{2\cdot (-1)} = 3,37 \)

\( y_2 = 4 \cdot 3,37 - 8,5 = 4,98 \)

\( P_2(3.37|4,98) \)

 

 

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Übungen (Online)

 

Übungs-/Arbeitsblätter

  • Infoblatt 10II.3.2 - Schnittpunkt: Parabel mit Gerade (PDF)