Berechnung von Koordinaten eines Punkts

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Ein Punkt im Koordinatensystem besteht aus einer x-Koordinate (Abszisse) und einer y-Koordinate (Ordinate).

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• Berechnung der y-Koordinate

  Ist ein Punkt P(x|y) gegeben, dessen x-Koordinate bekannt ist und auf einer Geraden liegt, so kann man die y-Koordinate wie folgt berechnen.

  Punkt P(3|y) und liegt auf der Geraden g mit der Gleichung \( y = 2 \cdot x +7 \).

  Setze die x-Koordinate von Punkt P für den x-Wert der Geradengleichung ein.

  \( y = 2 \cdot 3 + 7 \)

  Vereinfach anschließend den Rechtsterm.

  \( \begin{aligned}
    y & = 2 \cdot 3 + 7 \\[0.8 em]
    & = 13
  \end{aligned} \)

  Setze nun den Wert für y als y-Koordinate in Punkt P(3|y) ein.

  P(3|13)

  Mathematische Schreibweise

  P(3|y); Gerade g: \( y = 2 \cdot x + 7 \)

  \( \begin{aligned}
      y & = 2 \cdot 3 + 7 \\[0.8 em]
    & = 13 \\[0.8 em]
  \end{aligned} \)

  P(3|13)

   

• Berechnung der x-Koordinate

  Ist ein Punkt P(x|y) gegeben, dessen y-Koordinate bekannt ist und auf einer Geraden liegt, so kann man die x-Koordinate wie folgt berechnen.

  Punkt P(x|7) und liegt auf der Geraden g mit der Gleichung \( y = 1,5 \cdot x - 2 \).

  Setze die y-Koordinate von Punkt P für den y-Wert der Geradengleichung ein.

  \( 7 = 1,5 \cdot x - 2 \)

  Forme die Gleichung um, sodass die Variable x alleine steht. Zuerst kommt die Strichumformung.

  \( \begin{aligned}
    \Leftrightarrow 7 & = 1,5 \cdot x -2 & | +2 \\[0.8 em]
    \Leftrightarrow 9 & = 1,5 \cdot x
  \end{aligned} \)

  Danach die Punktumformung. Teile die Glechung durch den Faktor vor x.

  \( \begin{aligned}
    \Leftrightarrow 9 & = 1,5 \cdot x  & | :1,5 \\[0.8 em]
    \Leftrightarrow 6 & = x
  \end{aligned} \)

  Setze nun den Wert für x als x-Koordinate in Punkt P(x|7) ein.

  P(6|7)

  Mathematische Schreibweise

  P(x|7); Gerade g: \( y = 1,5 \cdot x -2 \)

  \( \begin{aligned}
     \phantom{\Leftrightarrow} 7 & = 1,5 \cdot x -2 & |+2 \\[0.8 em]
     \Leftrightarrow 9 & = 1,5 \cdot x & |:1,5 \\[0.8 em]
     \Leftrightarrow 6 & = x
  \end{aligned} \)

  P(6|7)

   

• Liegt der Punkt auf der Geraden?

  Ob ein Punkt P(x|y) auf einer Gerade g liegt, kann man wie folgt berechnen.

  Liegt Punkt P(3|7) auf der Geraden g mit der Gleichung \( y = 6 \cdot x -5 \).

  Setze die x-Koordinate von Punkt P für den x-Wert der Geradengleichung ein.

  \( y = 6 \cdot 3 -5 \)

  Vereinfach anschließend den Rechtsterm.

  \( \begin{aligned}
    y & = 6 \cdot 3 -5 \\[0.8 em]
    & = 13
  \end{aligned} \)

  Vergleiche den berechneten y-Wert mit der y-Koordinate des Punkts P. Ist der Wert gleich so liegt Punkt P auf der Gerade. Ist er nicht gleich, so liegt er nicht auf der Gerade.

  \( y = 13 \neq 7 \)

  \(P \notin g \)

  Mathematische Schreibweise

  P(3|7); Gerade g: \( y = 6 \cdot x - 5 \)

  \( \begin{aligned}
      y & = 6 \cdot 3 - 5 \\[0.8 em]
    & = 13 \neq 7 \\[0.8 em]
  \end{aligned} \)

  \(P \notin g \)

   

• Übungen (Online)

  Klick mich	Beschreibung	Sonstiges
  	Punktkoordinaten berechnen	geogebra
  	Berechnung fehlender Punktkoordinaten	geogebra
  	Liegt Punkt P auf der Geraden?	geogebra
  	Lineare Funktionen allgemein	www.abfrager.de
  	Berechnung von fehlenden Elementen	www.realmath.de