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Funktionale Abhängigkeit

Geschrieben von TinWing.

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Wie der Name schon aussagt, ist der Flächeninhalt eines Vielecks abhängig von einer Funktion.

Schaut man sich die Flächenformel eines allgemeinen Dreiecks an, so erkennt man:

\( A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c \)

Der Flächeninhalt des Dreiecks ist abhäng von der Grundseite \( c \) und der Höhe \( h_c \). Sobald diese beiden Seiten bekannt sind, lässt sich der Flächeninhalt berechnen. Weiß man nicht nichts genaues über die Länge oder Höhe, so ist Flächeninhalt weiter abhängig.

Weiter gilt: Verlängert sich die Grundseite \( c \) bei gleichbleibender Höhe (oder verlängert sich die Höhe bei gleich bleibender Grundseite), so wird auch der Flächeninhalt des Dreiecks größer und umgekehrt.

(Verlängere in der Abbildung oben die Grundseite c bzw. die Höhe h des Dreiecks mit Hilfe der Schieberegler. Beobachte, wie sich der Flächeninhalt verändert.)

 

Die Länge der Dreiecksseiten lassen sich in bestimmten Fällen auslesen. Ist ein KoSy gegeben und die liegen die gesuchten Strecken parallel zur x- oder y-Achse, kann man mit Hilfe der Koordinaten der Eckpunkte die Länge der Srecken berechnen.

                   

\( c = x_B - x_A = 3 - (-1) = 4 \)         \( c = x_B - x_A = 5 - 1 = 4 \)                \( c = x_B - x_A = 2 - (-2) = 4 \)

\( h = y_C - y_B = 4 - 1 = 3 \)            \( h = y_C - y_B = 1 - (-2) = 3 \)      \( h = y_C - y_B = 1 - (-2,5) = 3,5 \)

 

Bei diesen Dreiecken ist jeder Punkt eindeutig gegeben. Also lassen sich auch alle Strecken ausrechnen.

Was passiert aber, wenn man die Koordinaten von Punkt C nicht kennt und stattdessen nur weiß, dass der Punkt C auf dem Graph (Bild) einer Funktion, wie einer z.B. einer Geraden, liegt?

(Verschiebe Punkt C und untersuche, wie sich die Lage von C (Koordinaten von C) auf die Seite c, die Höhe h und den Flächeninhalt A auswirken.)

 

Wie zu sehen ist, verändert sich die Länge c nicht. Sie lässt sich berechnen mit

\( c = x_B - x_A = 3 - (-2) = 5 \)

Die Seite c ist damit nur abhängig von den Punkten A und B, die wiederum feste Koordinaten haben.

Die Höhe h verändert sich jedoch mit der Lage von Punkt C. Dennoch lässt sie sich - wie vorhin bei den drei Beispielen - allgemein über die Punktkoordinaten darstellen.

\( h = y_C - y_B = y_C - 1 \)

Der Punkt C darf überall auf der Geraden g mit der Gleichung \( y = 0,25 \cdot x + 4 \) liegen. Weiter weiß man, dass jeder Punkt dieser Geraden mit Hilfe der Geradengleichung berechnet werden kann.

Der Punkt C besitzt als x-Koordinate (Abszisse) und die Variable x. Als y-Koordinate (Ordinate) besitzt er die Geradengleichung.

\( C(x|0,25 \cdot x + 4) \)

(Setze eine beliebige Zahl für x ein, berechne die Ordinate und überprüfe das Ergebnis mit der Animation)

 

Für die Berechnung der Höhe des Dreiecks hat man nun den entsprechenden y-Wert des Punktes C, was in diesem Fall einer Funktion entspricht. Disen kann man in die Gleichung zur Berechnung der Höhe einsetzen. Es folgt:

\( h = y_C - y_B = \underbrace{0,25 \cdot x + 4}_{y_C} - 1 = 0,25 \cdot x + 3 \)

Nochmals der Hinweis: Die Höhe h ist abhängig von der Funktion \( f(x) = 0,25 \cdot x + 4 \), aus diesem Grund heißt es auch "Funktionale Abhängigkeit".

Setzt man nun c und h in die Flächenformel für Dreiecke ein, folgt:

\( A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (0,25\cdot x + 3) = 0,625 \cdot x + 7,5 \)

Je nachdem, welche Abszisse der Punkt C hat, lässt sich der Flächeninhalt über diese vereinfachte Formel berechnen.

 

Was ist der Sinn dahinter?

Angenommen, der Flächeninhalt des Dreiecks soll für 20 verschiedene Punkte berechnet werden. So müsste man für jedes Dreieck die Höhe immer wieder ausrechnen, in die Gleichung einsetzen und berechnen.

Mit Hilfe der vereinfachten Formel braucht man lediglich die Abszisse von C für x einsetzen und kann somit den Flächeninhalt A berechnen.

 

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